-->
20442089948863209543254490835361871223293246504253253244222450902125210054252300302210331037257509080002542285855724524240052333309025131555
آخر الأخبار
recent
مراجعة في الرياضيات Rappel de Mathématique

مراجعة في الرياضيات Rappel de Mathématique

المتميز التربوي الأحد، 30 مارس 2014 0
مراجعة في الرياضيات Rappel de Mathématique

مراجعة في الرياضيات Rappel de Mathématique

Rappel de Mathématique

0.1.1 vecteurs

0.1.1.1 vecteur en 2D

Soient $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$ deux vecteurs de $R^{2}$:
  • composantes dans un repère cartésien : $[A_{1},A_{2}]$ ou $\{ A_{i}\}_{i=1,2}$, $\{ B_{i}\}_{i=1,2}$
  • produit scalaire: scalaire $\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}=\sum_{i=1}^{2}\, A_{i}B_{i}$
  • norme euclidienne: $\left\Vert \overrightarrow{A}\right\Vert =\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}$
  • produit vectoriel: vecteur $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B}$ perpendiculaire au plan d'amplitude $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}$
  • produit tensoriel: matrice $\overline{\overline{M}}=\overrightarrow{A}\otimes\overrightarrow{B}$= $\left[\begin{array}{cc} A_{1}B_{1} & A_{1}B_{2}\\ A_{2}B_{1} & A_{2}B_{2}\end{array}\right]$ avec $M_{ij}=A_{i}B_{j}$
  • on note $\left[x_{1},x_{2}\right]$ les coordonnées cartésiennes d'un point dans le repère $[\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}]$, ou
    $\left[x,y\right]$ dans le repère $[\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{y}}]$

0.1.1.2 vecteur en 3D

Soient $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$ deux vecteurs de $R^{3}$:
  • composantes dans un repère cartésien : $\{ A_{i}\}_{i=1,3}$, $\{ B_{i}\}_{i=1,3}$
  • produit scalaire: scalaire $\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=\sum_{i=1}^{3}\, A_{i}B_{i}$
  • produit vectoriel: vecteur $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B}$ avec
    $\overrightarrow{C}=\left[\begin{array}{ccc} A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}, & A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3}, & A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\end{array}\right]$
  • produit tensoriel: matrice $\overline{\overline{M}}=\overrightarrow{A}\otimes\overrightarrow{B}$ avec $M_{ij}=A_{i}B_{j}$
  • on note $\left[x_{1},x_{2},x_{3}\right]$ les coordonnées cartésiennes d'un point dans le repère $[\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}]$, ou
    $\left[x,y,z\right]$ dans le repère $[\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{y}},\overrightarrow{e_{z}}]$

0.1.2 fonctions de plusieurs variables

0.1.2.1 fonction scalaire f(x,t) dépendant d'une variable d'espace x et du temps t

exemple:
$f(x,t)=2xe^{-t}$
  • dérivée partielle en temps:
    $\frac{\partial f}{\partial t}=\lim_{dt\rightarrow0}\frac{f(x,t+dt)-f(x,t)}{dt}$
  • dérivée partielle en espace:
    $\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{dx\rightarrow0}\frac{f(x+dx,t)-f(x,t)}{dx}$
  • sa différentielle est un scalaire: $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial t}dt$

0.1.2.2 fonction scalaire f(x,y,t) dépendant de 2 variables d'espace x,y et du temps t

exemple:
$f(x,y,t)=2xye^{-t}$   
  • sa différentielle est un scalaire: $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial t}dt$
  • son gradient (par rapport aux variables spatiales) est un vecteur de composantes $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$
    $\overrightarrow{grad}f=\overrightarrow{\nabla}f\,=\,\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_{x}}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_{y}}$
    A un instant t fixé, c'est un vecteur perpendiculaire aux courbes iso-valeurs $f(x,y)=cste$, qui indique la direction où la fonction $f$ croıt.
  • on note $\overrightarrow{grad}=\overrightarrow{\nabla}$ le vecteur opérateur dérivé:
    $\overrightarrow{\nabla}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x} & ... ...c{\partial}{\partial x_{1}} & \frac{\partial}{\partial x_{2}}\end{array}\right]$

0.1.2.3 fonction scalaire f(x,y,z,t) dépendant de 3 variables d'espace et du temps

exemple:
$f(x,y,z,t)=2xyze^{-t}$
  • sa différentielle est un scalaire: $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial t}dt$
  • son gradient (par rapport aux variables spatiales) est un vecteur:
    $\overrightarrow{grad}f=\overrightarrow{\nabla}f\,=\,\frac{\partial f}{\partial ... ...al y}\overrightarrow{e_{y}}+\frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_{z}}$

0.1.2.4 fonction vectorielle $\overrightarrow {U}(x,y,t)$ en 2D

c'est une fonction vectorielle de composantes $\{ u(x,y,t),\, v(x,y,t)\}$
exemple:
$\overrightarrow{U}(x,y,t)=\left[\begin{array}{cc} 2xye^{-t} & (x^{2}+y^{2})e^{t}\end{array}\right]$  
  • sa matrice Jacobienne est la matrice des gradients:

    \begin{displaymath} J=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \f... ...rray}\right]=\left[\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right]\end{displaymath}

  • sa divergence est un scalaire: $div\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{U}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$ .C'est la trace de $J$.
    Elle traduit la compression ou l'expansion du champs
  • son rotationnel est un vecteur perpendiculaire au plan d'amplitude: $\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$
    $\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrigh... ...ial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right\} \overrightarrow{e_{z}}$
    Il traduit la rotation solide du champ
  • l'opérateur scalaire $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}()=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}$
    traduit le transport par le champ d'une quantité:

    \begin{displaymath} F(M+\overrightarrow{dM})-F(M)=\overrightarrow{U}.\overrighta... ...,\mbox{{\, avec\,}}\,\,\overrightarrow{dM}=\overrightarrow{U}dt\end{displaymath}

    donne un scalaire appliqué à un scalaire: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}f=u\frac{\partial f}{\partial x}+v\frac{\partial f}{\partial y}$
    et un vecteur appliqué à un vecteur:

    \begin{displaymath} \overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\overrightarrow{U}=\... ...v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right]\end{displaymath}

0.1.2.5 fonction vectorielle $\overrightarrow {U}(x,y,z,t)$ en 3D

c'est une fonction vectorielle de composantes $\{ u(x,y,z,t),\, v(x,y,z,t),\, w(x,y,z,t)\}$
  • sa divergence est un scalaire: $div\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{U}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}$
  • son rotationnel est un vecteur:
    $\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrigh... ...ial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right\} \overrightarrow{e_{z}}$
  • l'opérateur scalaire $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}()=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}$
    donne un scalaire appliqué à un scalaire: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}f=u\frac{\partial f}{\partial x}+v\frac{\partial f}{\partial y}+w\frac{\partial f}{\partial z}$
    et un vecteur appliqué à un vecteur:

    \begin{displaymath} \overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\overrightarrow{U}=\... ...w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}\end{array}\right]\end{displaymath}

0.1.3 propriétés des opérateurs gradient, divergence, et rotationnellerotationnel

Notons enfin quelques propriétés de ces opérateurs:
  • $div(\overrightarrow{grad}\, f)=\Delta f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}$
  • $\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\, f)=0$
  • $div(f\overrightarrow{U})=\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\, f\,+f\, div\overrightarrow{U}$
  • $\overrightarrow{grad}(\frac{1}{2}U^{2})=\overrightarrow{U}\wedge\overrightarrow... ...\overrightarrow{U}+\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\,\overrightarrow{U}$

0.1.3.1 Théorème de la divergence:

  • soit $\Omega$ un domaine fermé de frontière $\Gamma$ :
    “le bilan des flux sur la surface $\Gamma$ est égale à la divergence du champ de vitesse dans le domaine”, soit

    \begin{displaymath} \int_{\Omega}div(\overrightarrow{U})\, d\Omega=\int_{\Gamma}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\, ds\end{displaymath}

  • Pour un domaine carré $\Omega=[0,a]x[0,a]$ de coté $a$, cela correspond à une intégration suivant les axes:
\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}\int_{0}^{a}(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\... ... ds+\int_{\Gamma_{y=0}}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\, ds\end{eqnarray*}

  • On généralise facilement au cas du flux $f\,\overrightarrow{U}$ d'un scalaire $f$

\begin{displaymath} \int_{\Omega}div(f\,\overrightarrow{U})\, d\Omega=\int_{\Gamma}f\,\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\, ds\end{displaymath}

0.1.4 Développement limitée (série de Taylor):

0.1.4.1 fonction d'une variable d'espace x et du temps t

  • développement limité en temps
    $f(x,t+dt)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}(dt)^{2}+\theta(dt^{2})$
  • développement limité en espace
    $f(x+dx,t)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(dx)^{2}+\theta(dx^{2})$
  • développement limité en temps et en espace:
    $f(x+dx,t+dt)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial ... ...xdt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}dt^{2}+\theta(dx^{2},dt^{2})$

شاهد أيضا :

Labels:
تعليقات فيسبوك
0 تعليقات بلوجر

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom)

عن الموقع

موقع المتميزموقع تعليمي جزائري هدفه مساعدة تلاميذ و طلاب الجزائريين والعرب على الاستعداد الجيد لخوض الامتحانات بكل ثقة و النجاح و تحسين نتائجهم و تطوير مستواهم و مستوى التعليم في الجزائر والوطن العربي بصفة عامة٠ يحتوي موقع المتميز على كل ما يمكن أن يحتاجه الطالب الجزائري من دروس و ملخصات مركزة ، امتحانات وطنية و مواضيع مقترحة، تمارين و حلول، فروض محروسة ، معلومات هامة، جذاذات كما يضم مجموعة من الكتب القيمة في مجالات متعددة، كما يطرح منح دراسية مجانية من جامعات عالمية واعلانات عن مسابقات ووظائف

أرشيف المدونة الإلكترونية

إتصل بنا

الإسم الكريم البريد الإلكتروني مهم الرسالة مهم
كافة الحقوق محفوظةلـ المتميز التربوي 2016