الميكانيكا: من العلوم الواسعة التي تهتم بحركة الأجسام ومسبباتها

الضرب القياسي The scalar product

الميكانيكا: من العلوم الواسعة التي تهتم بحركة الأجسام ومسبباتها.

ويتفرع من هذا العلم فروع أخرى مثل الكينماتيكا Kinematics و الديناميكا Dynamics

وعلم الكينماتيكاKinematics : يهتم بوصف حركة الأجسام دون النظر إلى مسبباتها،
أما علم الديناميكا Dynamics: فهو يدرس حركة الأجسام ومسبباتها مثل القوة والكتلة.

من أساسيات دراسة علم وصف الحركة الكينماتيكا Kinematics للأجسام المادية هو دراسة كل من( الإزاحةDisplacement ) و(السرعة)Velocity و(العجلة Acceleration.).

ونحتاج هنا إلى اعتماد محاور إسناد لتحديد موضع الجسم المتحرك عند أزمنة مختلفة ومن المناسب اعتماد محاور الإسناد الكارتيزية أو ما سميت بـ rectangularcoordinate (x,y ,z)

في الشكل أعلاه متجه الموضعr1 يحدد موضع الجسم عند بداية الحركة ومتجه الموضع r2 يحدد موقع الجسم النهائي بعد زمن وقدره Dt=t2-t1 وهنا فإن الإزاحة للجسم تعطى بالمعادلة :

r1 = x1i + y2j
r2 = x2i + y2j
Dr = r2 - r1

Dr is called the displacement vector which represent the change in the position vector.

لاحظ أن الإزاحة displacementDr تعتمد على المسافة بين نقطتي البداية والنهاية فقط ولا تعتمد على المسار الذي يسلكه الجسم.
So :
Displacement
Definition: Displacement is change in position,

where

is the final position and

is the initial position.
The arrow indicates that displacement is a vector

Quantity: it has direction and magnitude.
In 1 dimension, there are only two possible directions which can be specified with either a plus or a minus sign.
بما أن الحركة هنا في بعد واحد فقط فهناك إحتمالين لإتجاه الإزاحة .
التي تحدد بالإشارة . فإذا كانت الإشارة موجبه . فإتجاه الإزاحه يكون باتجاه القوة . وإذا كانت سالبة فإتجاه الإزاجة سيكون معاكس للقوة التي أحدثتها .

Other examples of vectors: are velocity, acceleration and force.
لأنه من المعروف إن المتجه لا يمثل إلا كمية متجهه .والكميات المتجهة هذه تتمثل في السرعة والتسارع والقوة .

بعكس الكميات القياسية :
In contrast, scalar quantities have only magnitude.

Some examples of scalars are :speed, mass, temperature and energy.

نستنتج من ذلك بأنه:

الكميات القياسية والكميات المتجهة Vector and Scalar
جميع الكميات الفيزيائية (أساسية أو مشتقة) يمكن تقسيمها إلى نوعين، النوع الأول هو الكميات القياسية scalar والنوع الثاني الكمية المتجهة vector . الكمية القياسية يمكن تحديدها بالمقدار magnitude فقط، مثل أن تقول أن كتلة جسم 5kg أو مساحة قطعة مستطيلة 30m2 بهذا نكون قد حددنا الكمية الفيزيائية. أما الكمية المتجهة تحتاج إلى أن تحدد اتجاهها direction بالإضافة إلى مقدارها، مثل سرعة الرياح 10km/h واتجاهها غرباً لاحظ هنا أنه احتجنا لتحديد المقدار أولاً ثم الاتجاه ثانياً.
وسبق ذكر أمثلة على كلٍ منها .

ولكن ! يجب أن يكون معلوما لدينا أن التعامل مع الكميات القياسية يختلف عنه في الكميات المتجهة فمثلاً لإيجاد المحصلة للكميات القياسية يتم التعامل جبرياً.
فمثلاً شخص يمتلك 15 قطعة نقدية واكتسب 5 قطع اخرى ثم خسر 3 قطع منها فتكون محصلة ما معه 17 قطعة.
أما في الكميات المتجهة يكون التعامل اتجاهياً:
فمثلا إذا كان هناك جسم اثرت عليه ثلاثة قوى فالمحصلة تعتمد على اتجاه كل قوة .
وقد نحتاج إلى عمل تحليل للمتجهات لإيجاد المركبات الرئيسية والمركبات الأفقية ثم نحسب المحصلة ونحدد اتجاهها.
لذا فإن التعامل مع الكميات المتجهة في الأغلب يكون أصعب قليلاً منها في التعامل مع الكميات القياسية.لذلك سوف نقوم بشرح مبسط لقواعد المتجهات وتوضيح مفاهيمها واساسياتها.

نظام الإحداثيات Coordinate system
نحتاج في حياتنا العملية إلى تحديد موقع جسم ما في الفراغ سواءً كان ساكناً أم متحركاً، ولتحديد موقع هذا الجسم فإننا نستعين بما يعرف بالإحداثيات Coordinates، وهناك نوعان من الإحداثيات التي سوف نستخدمها وهما Rectangular coordinates و polar coordinates.

الاحداثيات الكارتيزية The rectangular coordinates
الإحداثيات الكارتيزية في بعدين موضحة في الشكل التالي. وتتكون الاحداثيات هذه من محورين x و y متعامدين ومتقاطعين عند النقطة (0,0) والتي تسمى نقطة الأصل origin point .

الإحداثيات القطبية The polar coordinates
في بعض الأحيان يكون من الأنسب استخدام نظام محاور آخر مثل نظام المحاور القطبية والذي يحدد بالمسافة r والزاوية θ التي يصنعها مع المحور الأفقي. وتتحدد أي نقطة على هذه الإحداثيات بـ (r,θ)

العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية والقطبية The relation between coordinates
العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية (x,y) والاحداثيات القطبية (r,θ) موضحة في الشكل التالي:

(x = r cos θ (1.1
(y = r sin θ (1.2

بتربيع المعادليتن (1.1) و (1.2) وجمعهما نحصل على

(1.3)

والمعادلة (1.3) تعبر عن المحصلة (المقدار) لمركبتين في اتجاها محور x وفي اتجاه محور y.
بتقسيم المعادلتين (1.1) و (1.2) نحصل على
(tan θ= x/y ---> (1.4

والمعادلة (1.4) تعطي الزاوية (الاتجاه) الني تصنعها المحصلة مع محور x.

Example
The polar coordinates of a point are r = 5.5m and q =240o. What are the Cartesian coordinates of this point?
Solution
x = r cos q = 5.5×cos 240o = -2.75 m
y = r sin q = 5.5×sin 240o = -4.76 m

خواص المتجهات Properties of Vectors

جمع المتجهات Vector addition
يمكن جمع المتجهات التي تعبر عن كميات فيزيائية متشابهة مثل جمع متجهيين للقوة، ولكن لا يمكن ان نجمع متجه قوة مع متجة سرعة.
لجمع متجه A مع متجه B تكون المحصلة المتجه R
(R= A + B---> (1.5
هذه القاعده بشكل عام : ولكنها تختلف تباعاً لموقع المتجهين المراد جمعهما بالنسبة لبعضهما .
1) أول حالة : عندما يكونان متوازيين :
. Two vectors, A and B are equal if they have the same magnitude and direction, regardless of whether they have the same initial points, as shown in
.

إذاً في هذه الحالة المقدار : R=|A|×|B
وإتجاهها نفس إتجاه A&B

Panel 2

#2 A vector having the same magnitude as A but in the opposite direction to A is denoted by -A , as
.

هنا المحصلة تساوي الصفر . لأنهما متساويين في المقدار .
متعاكسين في الإتجاه .
R=A-B
B= -A:.
R=A-A=0<=

2) الحالة الخاصة الثانية لجمع المتجهات : هي عندما تكون متتابعة .
.

The sum of two vectors, A and B, is a vector C, which is obtained by placing the initial point of B on the final point of A, and then drawing a line from the initial point of A to the final point of B
A+B = C
والـمتجهه C هنا( المحصلة ) هو طول الضلع الذي يغلق الشكل .
ويكون إتجاهه بإتجاه رأس السهم للمتجه المجاور .
الذي أغلقنا المضلع عنده .
3)الحالة الثالثة لجمع المتجهات : عندما يكونان متقابليّ بالرأس .

Vector subtraction is defined in the following way. The difference of two vectors, A - B , is a vector C that is,
C=A - B
(or C = A + (-B .
Thus vector subtraction can be represented as a vector addition.
يعني : المحصلة هنا تساوي حاصل طرح المتجهين أو حاصل جمعهما مع مراعاة الإشارة لإتجاهيهما .
..........

لاحظوا أن جميع المتجهات لها خاصية التبديل.
(A + B = B + A---> (1.6

مركبات المتجه Component of vectorWe can define a unit vector in the x-direction by

or it is sometimes denoted by

. Similarly in the y-direction we use

or sometimes

. Any two-dimensional vector can now be represented by employing multiples of the unit vectors,

and

, as illustrated in Panel 8.

أي متجه A يقع في الاحداثيات الكارتيزية x,y يمكن تحليله إلى مركبتين المركبة الأولي في اتجاه محور x وتسمى المركبة الأفقيةوالمركبة الثانية في اتجاه المحور y وتسمى المركبة الرأسية.
في الشكل ادناه المتجه A تم تحليله إلى مركبتين وقيمة كل مركبة هي على النحو التالي:

Ax=A cosq
Ay=A sinq
تحسب المحصلة من القانون التالي:

عند التعامل مع عدة متجهات A, B, C, D , ........فإننا نحتاج إلى تحليل كل متجه منهم على حدى إلى مركباته بالنسبة إلى المحاور (x,y) مما سيسهل علينا إيجاد المحصلة حيث سنقوم بعد اجراء التحليل بتجميع المركبات في اتجاه المحور x ومن ثم تجميع المركبات في اتجاه المحور y ثم تطبق قانون المحصلة الذي ينص على ان المحصلة: تساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع مركبات x ومربع مركبات y، أو كما في المعادلة التالية

وتحسب اتجاه المحصلة من خلال المعادلة التالية:

Sothat,
the vector A can be represented algebraically by: A = Ax + Ay. Where Ax and Ay are vectors in the x and y directions. If Ax and Ay are the magnitudes of Ax and Ay, then Ax

and Ay

are the vector components of A in the x and y directions respectively. The actual operation implied by this is shown in Panel 9.

Remember

(or

) and

(or

) have a magnitude of 1 so they do not alter the length of the vector, they only give it

its direction.

متجه الوحدة The unit vector
يعرف متجه الوحدة بمتجه طوله الوحدة ويستخدم للتعبير عن الاتجاه لإي كمية فيزيائية متجهة.

المتجه Aيمكن تمثيله بمقدار المتجه A ضرب متجه الوحدةaكالتالي

A= a A (1.10)
كذلك يمكن تمثيل متجهات وحدة (i, j, k) لمحاور الاحداثيات الكارتيزية rectangular coordinatesystemx, y, z كما في الشكل التالي:-

لاحظ ان الشكل السابق يعبر عن الاحداثيات الكارتيزية في ثلاثة ابعاد
وعليه يمكن كتابة أي متجه بدلالة مركباته ومتجهات الوحدة، فعلى سبيل المثال لنفترض متجه A يقع في مستوى x,y يمكن التعبير عنه بالصورة الإتجاهية

ملاحظة: يمكن استخدام طريقة تحليل المتجهات في جمع متجهين A و B كما في الشكل التالي:

Example
Find the sum of two vectors A and B given by

and

Solution

Note that Ax=3, Ay=4, Bx=2, and By=-5

The magnitude of vector R is

The direction of R with respect to x-axis is.

ضرب المتجهات Product of a vector
يوجد نوعين من الضرب للمتجهات النوع الأول يسمى الضرب القياسي لان حاصل ضرب متجهين يعطي كمية قياسية مثل حاصل ضرب متجه القوة في متجهة الإزاحة يكون الناتج الشغل وهو كمية قياسية، والنوع الثاني هو الضرب الاتجاهي وذلك لان حاصل ضرب متجهين ينتج عنه متجه ثالث يكون اتجاهه عمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين الآخرين مثل متجه سرعة جسم مشحون في متجه المجال المغناطيسي ينتج عنه متجه قوة مغناطيسية.

ينتج من الضرب القياسي كمية قياسية وينتج من الضرب الإتجاهي كمية متجهة

يعرف الضرب القياسي scalar product بالضرب النقطي dot product وتكون نتيجة الضرب القياسي لمتجهين كمية قياسية، وتكون هذه القيمة موجبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 0 و 90 درجة وتكون النتيجة سالبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 90 و 180 درجة وتساوي صفراً إذا كانت الزاوية 90.

يعرف الضرب القياسي لمتجهين بحاصل ضرب مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

(1.16)
يمكن إيجاد قيمة الضرب القياسي لمتجهين باستخدام مركبات كل متجه كما يلي:

The scalar product is

الضرب الاتجاهي The vector product
يعرف الضرب الاتجاهي vector product بـ cross product وتكون نتيجة الضرب الاتجاهي لمتجهين كمية متجهة. كما في الشكل التالي: